% ============================================================
%  Hoja de ejercicios · Tema 3 · «Funciones reales en varias variables reales»
%  Matemáticas para la Empresa I · Grado en ADE · UNED · Plan 2026
%
%  15 ejercicios · 10 de desarrollo + 5 tipo test.
%  Rehecha el 3/10/2026 (Helen). Desarrollo: los ejercicios propuestos del capítulo 3 del
%  libro nuevo («Ejercicios de autocomprobación» 1-6 y «Ejercicios a resolver» 1 b-d y 2 b).
%  Tipo test: los dos del equipo docente (tal cual) y tres conceptuales nuevos.
%  Términos y notación del libro nuevo (Df, trazas, C_{z=k}). Respuestas comprobadas.
%
%  Interruptor \consolucionesfalse / \consolucionesfalse: resuelta o pizarra.
% ============================================================
\newcommand{\asignatura}{Matemáticas para la Empresa I · Grado en ADE · UNED · Plan 2026}
\newcommand{\asignaturapdf}{Matemáticas para la Empresa I ADE UNED}
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\definecolor{curvad}{HTML}{C0392B}
% Notación del libro nuevo
\newcommand{\Dom}{\mathit{Df}}
% Enunciados: la parte matemática resalta sobre el texto verde (negrita, tinta oscura, con aire).
\newcommand{\enun}{\boldmath\mathsurround=3.5pt\everymath{\color{tinta}}\everydisplay{\color{tinta}}}
% Opciones de un tipo test: \opciones{a}{b}{c}{d}
\newcommand{\opciones}[4]{\vspace{2pt}{\normalfont\unboldmath\mathsurround=0pt\everymath{}\color{tinta}%
\begin{enumerate}[label=\textbf{(\alph*)},leftmargin=1.8em,itemsep=5pt,topsep=4pt]
\item #1\item #2\item #3\item #4
\end{enumerate}}}
% Respuesta de un tipo test
\newcommand{\respuesta}[1]{{\xbold Respuesta correcta: (#1).}\par\vspace{8pt}}
% Notas que llenan el hueco hasta el pie (se omiten si queda menos de 2,5 cm)
\newcommand{\notasauto}{\par\setlength{\altnotas}{\dimexpr\pagegoal-\pagetotal-1.7cm\relax}%
  \ifdim\altnotas>2.5cm \begin{notasbox}[height=\altnotas]\end{notasbox}\fi}
% Icono de calculadora (el mismo de los apuntes)
\newcommand{\iccalc}{\raisebox{-0.18em}{\begin{tikzpicture}[x=0.105em,y=0.105em]
  \fill[black!72,rounded corners=0.14em] (0,0) rectangle (7.4,10);
  \fill[lima!45!white,rounded corners=0.05em] (0.9,6.7) rectangle (6.5,9.1);
  \foreach \cx in {0.9,2.9,4.9} \foreach \cy in {0.8,2.6,4.4}
    \fill[white,rounded corners=0.03em] (\cx,\cy) rectangle +(1.6,1.2);
  \fill[verdelogo,rounded corners=0.03em] (4.9,0.8) rectangle +(1.6,1.2);
\end{tikzpicture}}}

\begin{document}
\cabecera{TEMA 3}{Funciones reales en varias variables reales}{}{%
{\xbold\Large\color{verde}Qué vas a practicar.}\\[2pt]
Quince ejercicios: \textbf{10 de desarrollo} (evaluar una función, dominios, representación gráfica, curvas de nivel y aplicaciones económicas) y \textbf{5 tipo test}, rápidos y de concepto. Un \textbf{ejercicio por página}.}

\vspace{8pt}
\begin{tcolorbox}[enhanced,colback=white,colframe=verdelogo,boxrule=1pt,arc=4pt,
  left=14pt,right=14pt,top=12pt,bottom=10pt,
  title={\iclista\ \xbold Índice de ejercicios}, coltitle=verde, colbacktitle=fondo, fonttitle=\normalsize,
  attach boxed title to top left={xshift=12pt,yshift=-10pt},
  boxed title style={colframe=verdelogo,arc=3pt,boxrule=0.8pt}]
\begin{multicols}{2}\raggedright
{\xbold\color{verdelogo}Desarrollo · función y dominio}\\[1pt]
\textbf{1.} Calcula $f(2,-3)$ y $f(1,1)$.\\
\textbf{2.} Dominio de $\sqrt[4]{9-x^{2}-y^{2}}+1$.\\
\textbf{3.} Dominio de $\ln(4-x^{2}-y)$.\\[2pt]
\textbf{4.} Dominio de $\dfrac{\sqrt{y+1}}{x^{2}-y}$.\\[3pt]
\textbf{5.} Dominio de $\dfrac{\ln(2+x-y)}{y^{2}-1}$.

\vspace{4pt}
{\xbold\color{verdelogo}Desarrollo · gráfica y curvas de nivel}\\[1pt]
\textbf{6.} Cortes y trazas del plano $3x+6y+4z=24$.\\
\textbf{7.} Curvas de nivel de $z=x^{2}+y^{2}$.

\columnbreak
{\xbold\color{verdelogo}Desarrollo · aplicaciones económicas}\\[1pt]
\textbf{8.} Isocuantas de $z=2x^{2}+4y^{2}$.\\
\textbf{9.} Función de producción $z=8xy$.\\
\textbf{10.} Isocostes de $C=3x_{1}+2x_{2}$.

\vspace{4pt}
{\xbold\color{verdelogo}Tipo test}\\[1pt]
\textbf{11.} Dominio con una raíz en el denominador.\\
\textbf{12.} Curvas de nivel de $e^{x^{2}+y^{2}}$.\\
\textbf{13.} Cómo se obtienen las trazas.\\
\textbf{14.} Curvas de nivel de la producción.\\
\textbf{15.} Dominio de $\ln(x-y)$.
\end{multicols}
\end{tcolorbox}

% ---------------------------------------------------------------- 1
\clearpage
\subtemaejer{Funciones de dos variables}
\begin{enunciadobox}[1]\enun
Dada la función
\[f(x,y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2xy},\]
halla $f(2,-3)$ y $f(1,1).$
\end{enunciadobox}
\def\solalt{4.66cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\paso{1}{sustituyo $x=2$ e $y=-3$:}
\[f(2,-3)=\dfrac{2^{2}+(-3)^{2}}{2\cdot 2\cdot(-3)}=\dfrac{4+9}{-12}\ \Longrightarrow\ \boxed{\;f(2,-3)=-\dfrac{13}{12}\;}\]

\paso{2}{sustituyo $x=1$ e $y=1$:}
\[f(1,1)=\dfrac{1^{2}+1^{2}}{2\cdot 1\cdot 1}=\dfrac{1+1}{2}\ \Longrightarrow\ \boxed{\;f(1,1)=1\;}\]
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 2
\clearpage
\subtemaejer{Dominio}
\begin{enunciadobox}[2]\enun
Determina y representa gráficamente el dominio de la función
\[f(x,y)=\sqrt[4]{9-x^{2}-y^{2}}+1.\]
\end{enunciadobox}
\def\solalt{9.9cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\paso{1}{hay una raíz de índice par (raíz cuarta): el radicando no puede ser negativo.}
\[9-x^{2}-y^{2}\geq 0\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}\leq 9\]

\paso{2}{$x^{2}+y^{2}=9$ es la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $3$. La desigualdad $\leq$ incluye la circunferencia y todos los puntos de su interior: es un \textbf{disco cerrado}.}
\[\boxed{\;\Dom=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ /\ x^{2}+y^{2}\leq 9\}\;}\]

\vspace{4pt}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.55]
\fill[fondo] (0,0) circle(3);
\draw[verde,line width=1.2pt] (0,0) circle(3);
\draw[gris,->](-4.2,0)--(4.5,0) node[right,font=\footnotesize]{$x$};
\draw[gris,->](0,-4)--(0,4.3) node[above,font=\footnotesize]{$y$};
\foreach \x in {-3,3} \draw[gris] (\x,-0.1)--(\x,0.1) node[below=4pt,font=\scriptsize,fill=white,inner sep=1pt] {\x};
\node[font=\scriptsize,text=verde] at (1.2,1.2) {$\Dom$};
\end{tikzpicture}
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 3
\clearpage
\subtemaejer{Dominio}
\begin{enunciadobox}[3]\enun
Determina el dominio de la función
\[f(x,y)=\ln\left(4-x^{2}-y\right).\]
\end{enunciadobox}
\def\solalt{11.36cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\paso{1}{logaritmo: el argumento tiene que ser estrictamente positivo.}
\[4-x^{2}-y>0\ \Longrightarrow\ y<4-x^{2}\]

\paso{2}{$y=4-x^{2}$ es una parábola con vértice en $(0,4)$ que corta al eje $x$ en $x=\pm 2$. El dominio son los puntos situados \textbf{por debajo} de la parábola. La parábola no pertenece al dominio (desigualdad estricta): se dibuja con línea discontinua.}
\[\boxed{\;\Dom=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ /\ y<4-x^{2}\}\;}\]

\vspace{4pt}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.55]
\fill[fondo] plot[domain=-3:3,smooth,samples=40] (\x,{4-\x*\x}) -- (3,-5) -- (-3,-5) -- cycle;
\draw[verde,dashed,line width=1.2pt,domain=-3:3,smooth,samples=40] plot(\x,{4-\x*\x});
\draw[gris,->](-4,0)--(4.3,0) node[right,font=\footnotesize]{$x$};
\draw[gris,->](0,-5.2)--(0,5) node[above,font=\footnotesize]{$y$};
\node[font=\scriptsize,above right] at (0,4) {$4$};
\node[font=\scriptsize,below left,fill=white,inner sep=1pt] at (-2,-0.1) {$-2$};
\node[font=\scriptsize,below right,fill=white,inner sep=1pt] at (2,-0.1) {$2$};
\end{tikzpicture}
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 4
\clearpage
\subtemaejer{Dominio}
\begin{enunciadobox}[4]\enun
Determina el dominio de la función
\[f(x,y)=\dfrac{\sqrt{y+1}}{x^{2}-y}.\]
\end{enunciadobox}
\def\solalt{10.41cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\paso{1}{hay dos restricciones: una raíz de índice par y un denominador.}

\paso{2}{\textbf{Raíz}: $y+1\geq 0\ \Longrightarrow\ y\geq -1$. Son los puntos situados sobre la recta horizontal $y=-1$ o por encima de ella.}

\paso{3}{\textbf{Denominador}: $x^{2}-y\neq 0\ \Longrightarrow\ y\neq x^{2}$. Se excluyen los puntos de la parábola $y=x^{2}$.}

\paso{4}{el dominio es la intersección de las dos condiciones:}
\[\boxed{\;\Dom=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ /\ y\geq -1,\ y\neq x^{2}\}\;}\]

\vspace{4pt}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\fill[fondo] (-3.2,-1) rectangle (3.2,4.2);
\draw[verde,line width=1.2pt] (-3.2,-1)--(3.2,-1);
\draw[div,dashed,line width=1.1pt,domain=-2.05:2.05,smooth,samples=40] plot(\x,{\x*\x});
\draw[gris,->](-3.6,0)--(3.9,0) node[right,font=\footnotesize]{$x$};
\draw[gris,->](0,-2)--(0,4.7) node[above,font=\footnotesize]{$y$};
\node[font=\scriptsize,text=verde,right] at (3.2,-1) {$y=-1$};
\node[font=\scriptsize,text=div,right] at (2.05,4.1) {$y=x^{2}$};
\end{tikzpicture}
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 5
\clearpage
\subtemaejer{Dominio}
\begin{enunciadobox}[5]\enun
Determina el dominio de la función
\[f(x,y)=\dfrac{\ln(2+x-y)}{y^{2}-1}.\]
\end{enunciadobox}
\def\solalt{11.43cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\paso{1}{hay dos restricciones: un logaritmo y un denominador.}

\paso{2}{\textbf{Logaritmo}: $2+x-y>0\ \Longrightarrow\ y<x+2$. Son los puntos situados por debajo de la recta $y=x+2$, sin incluirla.}

\paso{3}{\textbf{Denominador}: $y^{2}-1\neq 0\ \Longrightarrow\ y\neq 1$ e $y\neq -1$. Se excluyen las rectas horizontales $y=1$ e $y=-1$.}

\paso{4}{el dominio es la intersección de las condiciones:}
\[\boxed{\;\Dom=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\ /\ y<x+2,\ y\neq 1,\ y\neq -1\}\;}\]

\vspace{4pt}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\fill[fondo] (-3.6,-1.6)--(3.2,5.2)--(3.2,-2.6)--(-3.6,-2.6)--cycle;
\draw[verde,dashed,line width=1.2pt] (-3.6,-1.6)--(3.2,5.2);
\draw[div,dashed,line width=1.1pt] (-3.6,1)--(3.2,1);
\draw[div,dashed,line width=1.1pt] (-3.6,-1)--(3.2,-1);
\draw[gris,->](-4,0)--(3.9,0) node[right,font=\footnotesize]{$x$};
\draw[gris,->](0,-2.8)--(0,5.6) node[above,font=\footnotesize]{$y$};
\node[font=\scriptsize,text=verde,left] at (2.4,4.7) {$y=x+2$};
\node[font=\scriptsize,text=div,right] at (3.2,1) {$y=1$};
\node[font=\scriptsize,text=div,right] at (3.2,-1) {$y=-1$};
\end{tikzpicture}
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 6
\clearpage
\subtemaejer{Representación gráfica}
\begin{enunciadobox}[6]\enun
Dada la función $3x+6y+4z=24$, halla las intersecciones con los ejes y con los planos coordenados y represéntala gráficamente.
\end{enunciadobox}
\def\solalt{12.07cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\paso{1}{\textbf{Intersecciones con los ejes} (anulo dos variables):}
\begin{itemize}
\item Eje $x$ ($y=0,\ z=0$): $3x=24\Rightarrow x=8$. Punto $(8,0,0)$.
\item Eje $y$ ($x=0,\ z=0$): $6y=24\Rightarrow y=4$. Punto $(0,4,0)$.
\item Eje $z$ ($x=0,\ y=0$): $4z=24\Rightarrow z=6$. Punto $(0,0,6)$.
\end{itemize}

\paso{2}{\textbf{Trazas} (anulo una variable):}
\begin{itemize}
\item Plano $xy$ ($z=0$): $3x+6y=24$, es decir, $x+2y=8$.
\item Plano $xz$ ($y=0$): $3x+4z=24$.
\item Plano $yz$ ($x=0$): $6y+4z=24$, es decir, $3y+2z=12$.
\end{itemize}

\paso{3}{es un \textbf{plano}. Dibujo los tres puntos y las tres trazas:}

\vspace{2pt}
\centering
\tdplotsetmaincoords{70}{115}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords,scale=0.42]
\fill[fondo,opacity=0.75] (8,0,0)--(0,4,0)--(0,0,6)--cycle;
\draw[verde,line width=1.2pt] (8,0,0)--(0,4,0)--(0,0,6)--cycle;
\draw[gris,->,line width=0.9pt] (0,0,0)--(10,0,0); \node[gris,font=\footnotesize,below=1pt] at (10,0,0) {$x$};
\draw[gris,->,line width=0.9pt] (0,0,0)--(0,6,0); \node[gris,font=\footnotesize,above right=-1pt] at (0,6,0) {$y$};
\draw[gris,->,line width=0.9pt] (0,0,0)--(0,0,7.6); \node[gris,font=\footnotesize,above=1pt] at (0,0,7.6) {$z$};
\fill[curva] (8,0,0) circle (2.3pt); \node[font=\scriptsize,text=curva,fill=white,inner sep=1.5pt,left=4pt] at (8,0,0) {$(8,0,0)$};
\fill[curva] (0,4,0) circle (2.3pt); \node[font=\scriptsize,text=curva,fill=white,inner sep=1.5pt,below=3pt] at (0,4,0) {$(0,4,0)$};
\fill[curva] (0,0,6) circle (2.3pt); \node[font=\scriptsize,text=curva,fill=white,inner sep=1.5pt,right=4pt] at (0,0,6) {$(0,0,6)$};
\end{tikzpicture}
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 7
\clearpage
\subtemaejer{Curvas de nivel}
\begin{enunciadobox}[7]\enun
Representa gráficamente las curvas de nivel para $z=-1$, $z=0$, $z=1$ y $z=2$ de la superficie
\[z=x^{2}+y^{2}.\]
\end{enunciadobox}
\def\solalt{10.5cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\paso{1}{igualo la función a cada valor:}
\begin{itemize}
\item $z=-1\ \Rightarrow\ x^{2}+y^{2}=-1$. No tiene solución real: \textbf{no existe} esta curva de nivel.
\item $z=0\ \Rightarrow\ x^{2}+y^{2}=0\ \Rightarrow\ x=y=0$. Es un solo punto: el origen, $(0,0)$.
\item $z=1\ \Rightarrow\ x^{2}+y^{2}=1$. Circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $1$.
\item $z=2\ \Rightarrow\ x^{2}+y^{2}=2$. Circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $\sqrt{2}$.
\end{itemize}

\paso{2}{las represento (todas menos la primera, que no existe):}

\vspace{4pt}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.35]
\draw[gris,->](-2.1,0)--(2.3,0) node[right,font=\footnotesize]{$x$};
\draw[gris,->](0,-1.9)--(0,2.1) node[above,font=\footnotesize]{$y$};
\draw[curva,line width=1.2pt] (0,0) circle(1.0);
\draw[curvab,line width=1.2pt] (0,0) circle(1.414);
\fill[curvad] (0,0) circle(1.6pt);
\node[font=\scriptsize,text=curvad,below right] at (0,0) {$z=0$};
\node[font=\scriptsize,text=curva,fill=white,inner sep=1.5pt] at (0.71,0.71) {$z=1$};
\node[font=\scriptsize,text=curvab,fill=white,inner sep=1.5pt] at (-1.0,1.0) {$z=2$};
\end{tikzpicture}
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 8
\clearpage
\subtemaejer{Aplicaciones económicas}
\begin{enunciadobox}[8]\enun
La producción de un bien está dada por $z=2x^{2}+4y^{2}$, donde $x$ e $y$ son las cantidades de los factores de producción $X$ e $Y$. Representa las isocuantas para $z=2$, $z=4$ y $z=8.$
\end{enunciadobox}
\def\solalt{10.2cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\paso{1}{las \textbf{isocuantas} son las curvas de nivel de la función de producción. Igualo a cada nivel y divido para dejar un $1$ a la derecha:}
\begin{itemize}
\item $z=2\ \Rightarrow\ 2x^{2}+4y^{2}=2\ \Rightarrow\ x^{2}+2y^{2}=1$. Elipse de semiejes $a=1$ y $b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item $z=4\ \Rightarrow\ 2x^{2}+4y^{2}=4\ \Rightarrow\ \dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$. Elipse de semiejes $a=\sqrt{2}$ y $b=1$.
\item $z=8\ \Rightarrow\ 2x^{2}+4y^{2}=8\ \Rightarrow\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$. Elipse de semiejes $a=2$ y $b=\sqrt{2}$.
\end{itemize}

\paso{2}{como $x$ e $y$ son cantidades, solo se consideran los arcos del \textbf{primer cuadrante}:}

\vspace{4pt}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.9]
\draw[gris,->](0,0)--(2.6,0) node[right,font=\footnotesize]{$x$};
\draw[gris,->](0,0)--(0,1.9) node[above,font=\footnotesize]{$y$};
\foreach \x in {1,2} \draw[gris] (\x,-0.03)--(\x,0.03) node[below=4pt,font=\scriptsize] {\x};
\draw[gris] (-0.03,1)--(0.03,1) node[left=3pt,font=\scriptsize] {1};
\draw[curva,line width=1.2pt] (1,0) arc[start angle=0,end angle=90,x radius=1,y radius=0.707];
\draw[curvab,line width=1.2pt] (1.414,0) arc[start angle=0,end angle=90,x radius=1.414,y radius=1];
\draw[curvac,line width=1.2pt] (2,0) arc[start angle=0,end angle=90,x radius=2,y radius=1.414];
\node[font=\scriptsize,text=curva,fill=white,inner sep=1pt] at (0.55,0.4) {$z=2$};
\node[font=\scriptsize,text=curvab,fill=white,inner sep=1pt] at (0.95,0.92) {$z=4$};
\node[font=\scriptsize,text=curvac,fill=white,inner sep=1pt] at (1.55,1.15) {$z=8$};
\end{tikzpicture}
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 9
\clearpage
\subtemaejer{Aplicaciones económicas}
\begin{enunciadobox}[9]\enun
Dada la función de producción $z=8xy$, donde $x$ es el número de horas-máquina usadas e $y$ es el número de horas de trabajo de los empleados:
\begin{enumerate}[label=\alph*),leftmargin=1.6em,itemsep=2pt,topsep=4pt]
\item Determina las curvas de producción constante para $z=16$, $z=24$ y $z=32$ y represéntalas.
\item Si se desea obtener un volumen de producción de $400$ unidades y las máquinas funcionan durante $2$ horas, ¿cuántas horas deben trabajar los empleados?
\item Si se deben producir $8000$ unidades con $200$ horas de trabajo de los empleados, ¿cuántas horas-máquina se deben utilizar?
\end{enumerate}
\end{enunciadobox}
\def\solalt{12.14cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\paso{1}{\textbf{a)} igualo la función a cada nivel:}
\[z=16\Rightarrow 8xy=16\Rightarrow xy=2\qquad z=24\Rightarrow xy=3\qquad z=32\Rightarrow xy=4\]
Son \textbf{hipérbolas}. Solo se considera el primer cuadrante.

\vspace{2pt}
{\centering
\begin{tikzpicture}[x=1.5cm,y=0.42cm]
\draw[gris,->](0,0)--(4.6,0) node[right,font=\footnotesize]{$x$};
\draw[gris,->](0,0)--(0,10.5) node[above,font=\footnotesize]{$y$};
\foreach \x in {1,2,3,4} \draw[gris] (\x,-0.2)--(\x,0.2) node[below=4pt,font=\scriptsize] {\x};
\foreach \y in {2,4,6,8,10} \draw[gris] (-0.04,\y)--(0.04,\y) node[left=3pt,font=\scriptsize] {\y};
\draw[curva,line width=1.2pt,domain=0.2:4.2,smooth,samples=60] plot(\x,{2/\x});
\draw[curvab,line width=1.2pt,domain=0.3:4.2,smooth,samples=60] plot(\x,{3/\x});
\draw[curvac,line width=1.2pt,domain=0.4:4.2,smooth,samples=60] plot(\x,{4/\x});
\node[font=\scriptsize,text=curva,fill=white,inner sep=1pt] at (0.75,1.6) {$z=16$};
\node[font=\scriptsize,text=curvab,fill=white,inner sep=1pt] at (1.45,3.0) {$z=24$};
\node[font=\scriptsize,text=curvac,fill=white,inner sep=1pt] at (2.3,3.4) {$z=32$};
\end{tikzpicture}\par}

\paso{2}{\textbf{b)} sustituyo $z=400$ y $x=2$:}
\[400=8\cdot 2\cdot y\ \Longrightarrow\ \boxed{\;y=25\ \text{horas}\;}\]

\paso{3}{\textbf{c)} sustituyo $z=8000$ e $y=200$:}
\[8000=8\cdot x\cdot 200\ \Longrightarrow\ \boxed{\;x=5\ \text{horas-máquina}\;}\]
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 10
\clearpage
\subtemaejer{Aplicaciones económicas}
\begin{enunciadobox}[10]\enun
Halla las curvas de nivel de la función de costes
\[C(x_{1},x_{2})=3x_{1}+2x_{2}\]
e interprétalas. Represéntalas para $C=6$ y $C=12.$
\end{enunciadobox}
\def\solalt{11.7cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\paso{1}{igualo la función a un valor constante $k$ y despejo $x_{2}$:}
\[3x_{1}+2x_{2}=k\ \Longrightarrow\ x_{2}=\dfrac{k}{2}-\dfrac{3}{2}\,x_{1}\]
Son \textbf{rectas paralelas} de pendiente $-\dfrac{3}{2}$. Al tratarse de una función de costes, $x_{1}\geq 0$ y $x_{2}\geq 0$: solo se considera el tramo del primer cuadrante.

\paso{2}{\textbf{Interpretación}: son las \textbf{isocostes}. Cada recta reúne las combinaciones de insumos $(x_{1},x_{2})$ que tienen el mismo coste total.}

\paso{3}{para $C=6$: $x_{2}=3-\dfrac{3}{2}x_{1}$. Para $C=12$: $x_{2}=6-\dfrac{3}{2}x_{1}$.}

\vspace{4pt}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.62]
\draw[gris,->](0,0)--(5.3,0) node[right,font=\footnotesize]{$x_{1}$};
\draw[gris,->](0,0)--(0,7) node[above,font=\footnotesize]{$x_{2}$};
\foreach \x in {1,2,3,4} \draw[gris] (\x,-0.1)--(\x,0.1) node[below=4pt,font=\scriptsize] {\x};
\foreach \y in {1,2,3,4,5,6} \draw[gris] (-0.1,\y)--(0.1,\y) node[left=3pt,font=\scriptsize] {\y};
\draw[curva,line width=1.2pt] (0,3)--(2,0);
\draw[curvab,line width=1.2pt] (0,6)--(4,0);
\node[font=\scriptsize,text=curva,fill=white,inner sep=1pt] at (1.5,1.6) {$C=6$};
\node[font=\scriptsize,text=curvab,fill=white,inner sep=1pt] at (2.9,2.9) {$C=12$};
\end{tikzpicture}
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 11
\clearpage
\subtemaejer{Tipo test · dominio}
\begin{enunciadobox}[11]\enun
El dominio de la función
\[f(x,y)=\dfrac{2x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\]
es\ldots
\opciones{todos los puntos $(x,y)$.}{todos los puntos $(x,y)$ salvo aquellos en los que $x=y$.}{todos los puntos $(x,y)$ salvo el $(0,0)$.}{todos los puntos $(x,y)$ salvo aquellos en los que $x=0$ o bien $y=0$.}
\end{enunciadobox}
\def\solalt{2.44cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\respuesta{c}
La raíz está en el denominador: hace falta $x^{2}+y^{2}>0$. Una suma de cuadrados solo vale $0$ cuando $x=0$ e $y=0$ a la vez, así que el único punto excluido es el origen.

\vspace{6pt}
\textbf{(d)} es el error más frecuente: no hace falta que se anulen por separado $x$ o $y$; por ejemplo, $(0,3)$ sí está en el dominio.
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 12
\clearpage
\subtemaejer{Tipo test · curvas de nivel}
\begin{enunciadobox}[12]\enun
Las curvas de nivel de la función $f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}$ son\ldots
\opciones{una familia de rectas paralelas.}{una familia de circunferencias concéntricas.}{una familia de parábolas.}{una familia de hipérbolas.}
\end{enunciadobox}
\def\solalt{4.06cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\respuesta{b}
Igualo la función a una constante $k$: $e^{x^{2}+y^{2}}=k\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}=\ln k$. Según el valor de $k$:
\begin{itemize}
\item Si $k>1$: $\ln k>0$ y la curva es una circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $\sqrt{\ln k}$.
\item Si $k=1$: $x^{2}+y^{2}=0$, que es solo el punto $(0,0)$.
\item Si $k<1$: no existe curva de nivel. Si $0<k<1$, $\ln k$ es negativo y una suma de cuadrados no puede serlo; si $k\leq 0$, la exponencial nunca toma ese valor, porque es siempre positiva.
\end{itemize}
Las curvas de nivel que existen son circunferencias con el mismo centro. La exponencial no cambia su forma: son las mismas que las de $x^{2}+y^{2}$.
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 13
\clearpage
\subtemaejer{Tipo test · representación gráfica}
\begin{enunciadobox}[13]\enun
Las trazas de una superficie se obtienen\ldots
\opciones{igualando a cero dos de las variables.}{igualando a cero una de las variables.}{fijando un valor constante $z=k$.}{despejando $z$.}
\end{enunciadobox}
\def\solalt{2.1cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\respuesta{b}
Las trazas son las intersecciones con los planos coordenados, y cada plano coordenado se caracteriza porque una variable vale cero (plano $xy$: $z=0$).

\vspace{6pt}
\textbf{(a)} da las intersecciones con los \textbf{ejes}. \textbf{(c)} da las \textbf{curvas de nivel}.
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 14
\clearpage
\subtemaejer{Tipo test · aplicaciones económicas}
\begin{enunciadobox}[14]\enun
Las curvas de nivel de una función de producción se llaman\ldots
\opciones{isocostes.}{isocuantas.}{curvas de indiferencia.}{isoingresos.}
\end{enunciadobox}
\def\solalt{2.1cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\respuesta{b}
Una isocuanta reúne las combinaciones de factores que permiten obtener el mismo nivel de producción.

\vspace{6pt}
\textbf{(a)} son las de la función de coste, \textbf{(c)} las de la función de utilidad y \textbf{(d)} las de la función de ingreso.
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

% ---------------------------------------------------------------- 15
\clearpage
\subtemaejer{Tipo test · dominio}
\begin{enunciadobox}[15]\enun
El dominio de la función $f(x,y)=\ln(x-y)$ está formado por los puntos $(x,y)$ que cumplen\ldots
\opciones{$y<x$.}{$y\leq x$.}{$y\neq x$.}{cualquier condición: es todo el plano.}
\end{enunciadobox}
\def\solalt{2.44cm}\begin{solucionbox}
\ifconsoluciones
\respuesta{a}
El argumento de un logaritmo tiene que ser estrictamente positivo: $x-y>0$, es decir, $y<x$. Son los puntos situados por debajo de la recta $y=x$, sin incluirla.

\vspace{6pt}
\textbf{(b)} incluye la recta, donde el argumento vale $0$ y el logaritmo no existe. \textbf{(c)} es la condición de un denominador.
\fi
\rellenosol
\end{solucionbox}
\notasauto

\end{document}